Modèle de Bachelier (normal)
Le modèle de Bachelier (1900) a été le premier modèle d'évaluation d'options. Il précède Black-Scholes de 73 ans. Les variations de prix y sont additives et suivent une loi normale. Au lieu de modéliser des rendements en pourcentage (lognormaux), Bachelier modélise des variations en dollars (normales). Le prix peut devenir négatif : un défaut pour les actions, un atout pour les taux d'intérêt.
Le modèle comporte exactement un seul paramètre : la vol normale, mesurée en termes absolus (par exemple « 50 $/an » au lieu de « 30 %/an »). Il n'y a pas de smile. Si le monde suivait Bachelier, toutes les options, quel que soit le prix d'exercice, auraient la même vol normale. Ce smile plat est la prédiction centrale du modèle.
Le skew peut être un artefact du modèle
Bachelier produit un smile plat par construction. Convertissez ces prix en volatilité implicite Black-Scholes et vous obtenez un skew. Ce skew n'est pas dans le marché : c'est la conséquence de l'application de mathématiques lognormales à un monde qui pourrait être normal.
Explorer le modèle
La ligne bleue pointillée et plate représente la vision de Bachelier : une seule vol pour tous les prix d'exercice. La courbe verte montre les mêmes prix d'options exprimés en termes Black-Scholes. Baissez le prix spot et observez le skew BS apparent se creuser, alors que rien n'a changé dans le monde de Bachelier.
Explorateur Bachelier vs Black-Scholes
La ligne bleue plate en pointillés est la vision de Bachelier : une seule vol pour tous les strikes. La courbe verte représente les mêmes prix d'options ré-exprimés en termes de Black-Scholes. Le « skew » est un artefact de modélisation, pas une caractéristique du marché.
Rôle de chaque paramètre
- Vol normale : le paramètre unique. Mesurée en unités de prix absolues par an (et non en pourcentage). Une vol normale de 20 signifie que le prix devrait varier de 20 $ sur un an (un écart-type). Tous les prix d'exercice reçoivent la même vol : le smile est plat.
- Prix spot : ne modifie pas le smile de Bachelier (qui reste plat). En revanche, il affecte considérablement le smile équivalent BS. À des prix spot plus bas, la même variation en dollars correspond à une variation en pourcentage plus importante, donc la volatilité implicite BS augmente, ce qui crée un skew des puts apparent.
Pourquoi le « skew » BS apparaît
Le bêta de SABR choisit le backbone
Le backbone de SABR (le smile lorsque la vol de la vol est désactivée) dépend de bêta. Bêta = 0 : Bachelier. Bêta = 1 : Black-Scholes. Bêta détermine votre position sur le spectre normal-lognormal.
Où Bachelier est utilisé
Pas pour les options sur crypto spot
Les prix spot des cryptos sont positifs et présentent des effets de levier (la vol augmente quand le prix baisse). Le cadre lognormal (famille Black-Scholes) y est plus naturel. Bachelier est l'outil adapté aux taux, aux spreads et à tout ce qui peut devenir négatif.
Bachelier vs. Black-Scholes en un coup d'œil
La formule de conversion
Près de la monnaie (ATM), vous pouvez passer de l'une à l'autre :
Un actif à 100 de vol normale. Mais cette approximation se dégrade loin de l'ATM, et c'est précisément pourquoi le « smile » BS apparaît lorsque vous convertissez des prix Bachelier.
Smile plat par définition
Bachelier traite les variations de prix comme additives. Son smile est plat par définition. Le skew qui apparaît après conversion en termes BS est un artefact du choix de modèle, et non une caractéristique du marché.
Explorateur d'équations
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Développer l'intuition mathématique
Apprendre Bachelier depuis zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon part d'un modèle mental en langage simple, puis aborde la volatilité normale, la formule d'évaluation, et explique pourquoi un smile normal plat peut apparaître comme un skew une fois traduit en termes Black-Scholes.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- L'équivalent lognormal
- Modèle CEV -- Fait le lien entre normal et lognormal via le paramètre bêta
- Modèle SABR -- Utilise bêta pour se positionner sur le spectre normal-lognormal
- Diffusion déplacée -- Une autre façon de gérer les sous-jacents proches de zéro
- Volatilité implicite -- Un concept qui dépend du modèle choisi
- Skew -- Distinguer les artefacts de modèle des caractéristiques du marché