Diffusion déplacée

La diffusion déplacée (aussi appelée modèle lognormal décalé) reprend Black-Scholes en décalant l’axe des prix. Au lieu de modéliser directement le prix forward $F$, vous modélisez $F + d$ comme lognormal, où $d$ est le déplacement. Cela crée du skew sans aucune volatilité stochastique, par un simple changement de coordonnées.

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Un changement de coordonnées crée du skew

Un déplacement négatif permet à l’actif sous-jacent de passer sous zéro (utile pour les taux). Un déplacement positif décale le smile vers la droite. Le décalage brise la symétrie de Black-Scholes et crée du skew. Le niveau ATM reste inchangé ; les options OTM sont revalorisées.

Explorer les paramètres

Déplacez le curseur de déplacement pour voir comment le décalage de l’axe des prix crée une asymétrie. Le curseur de volatilité contrôle le niveau global. La ligne bleue en pointillés montre le cas non décalé (Black-Scholes).

Explorateur de diffusion déplacée

Déplacement nul. Lognormale pure : smile plat, pas de skew.

Niveau de vol40%

Volatilité de base du processus déplacé

Déplacement (d)0

Négatif = autorise des prix négatifs, Positif = décalé vers la droite

Déplacez le curseur de déplacement pour voir comment le décalage de l'axe des prix crée du skew. La ligne bleue en pointillés montre le smile non décalé pour référence.

Rôle de chaque paramètre

• sigma (niveau de volatilité) : la volatilité implicite appliquée au forward décalé. Un sigma plus élevé renchérit toutes les options.
• déplacement (d) : l’ampleur du décalage de l’axe des prix. Un d négatif crée un skew put (la volatilité augmente quand le prix baisse). Un d positif crée un léger skew call. Un déplacement nul correspond au Black-Scholes standard.

Forces et limites

Force

Ce que cela signifie pour vous

Gère les valeurs négatives

Avec un déplacement négatif, le modèle autorise des prix négatifs du sous-jacent. C’était essentiel lorsque les taux d’intérêt sont passés en territoire négatif.

Valorisation en forme fermée

C’est littéralement Black-Scholes avec des entrées décalées. Chaque formule BS, chaque grecque, tout se transpose exactement.

Deux paramètres

Niveau de volatilité et déplacement. Simple à calibrer, difficile à surajuster.

Limite

Ce que cela signifie pour vous

Pas de courbure du smile

Comme CEV, la diffusion déplacée produit du skew (inclinaison) mais pas de smile (courbure). Elle ne peut pas reproduire un smile de marché qui remonte sur les deux ailes.

Skew uniquement linéaire

Le skew produit est quasi linéaire selon les prix d’exercice. Le skew réel du marché présente une courbure, surtout pour les options à courte échéance.

Déplacement arbitraire

Aucune raison économique ne justifie une valeur particulière du déplacement. C’est un paramètre d’ajustement, pas un enseignement du modèle.

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Le chemin le plus court de Black-Scholes au skew

La diffusion déplacée est le moyen le plus rapide d’ajouter du skew à Black-Scholes. C’est un bon point de départ, mais les marchés réels exigent davantage de paramètres. Pour une couverture correcte en delta et en véga sur l’ensemble de la structure par terme, il vous faut un modèle plus riche.

Explorateur d’équations

Convertissez entre volatilité implicite, variance totale, log-moneyness et prix des options.

Explorateur d'équations

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implicite (σ)

%

La volatilité implicite

Temps jusqu'à l'échéance

jours

Jours calendaires jusqu'à l'échéance

Variance totale (w)

0.022225

Variance annualisée (σ²)

0.2704

IV recalculée (aller-retour)

52.00%

La variance totale est ce que SVI et d'autres modèles calibrent. Elle croît avec le temps : une vol de 50% sur 30 jours a moins de variance totale qu'une vol de 50% sur 90 jours.

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Testez votre compréhension avant de continuer.

Q: Quel est l’effet d’un déplacement négatif sur le smile de volatilité ?

Q: Pourquoi la diffusion déplacée était-elle populaire sur les marchés de taux vers 2014-2016 ?

💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.

Construire l’intuition mathématique

Apprendre la diffusion déplacée depuis zéroLeçon interactive · aucun prérequis

Cette leçon explique en termes simples l’astuce du décalage de l’axe, montre comment le paramètre de déplacement modifie le smile, et relie le modèle à l’intuition de Black-Scholes.

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Voir aussi :

• Modèle CEV : un autre modèle de skew simple (backbone en loi de puissance)
• Modèle SABR : modèle complet à volatilité stochastique (backbone CEV + vol de vol)
• Skew : pourquoi le smile s’incline
• Méthodes d’interpolation : comparaison de tous les modèles de smile