Espérance mathématique (EV)
L'espérance mathématique répond à une seule question : si je réalisais exactement ce trade des milliers de fois, finirais-je gagnant ou perdant ?
C'est le concept le plus important du trading. Pas l'analyse technique. Pas les figures chartistes. Pas la « conviction ». Toutes les salles de marché rentables du monde, des market makers aux hedge funds, fonctionnent en trouvant et en répétant des trades à EV positive.
L'EV est ce que vous vous attendez à gagner (ou à perdre) en moyenne par trade, calculée en multipliant chaque résultat possible par sa probabilité puis en additionnant le tout.
Commençons simplement : un pile ou face
Avant de parler d'options, pensez à un pari. Quelqu'un vous propose un pile ou face :
- Face : vous gagnez 200 $
- Pile : vous perdez 100 $
Faut-il accepter ? Votre instinct vous dira peut-être « c'est du 50/50, c'est risqué ». Mais faites le calcul :
L'EV est de +50 $ par lancer. Vous devriez accepter ce pari chaque fois qu'on vous le propose. Vous perdrez certains lancers, mais les gains sont suffisamment importants pour couvrir largement les pertes.
Le taux de réussite et l'EV ne sont pas la même chose. Un trade gagnant 80 % du temps peut avoir une EV négative. Un trade perdant 60 % du temps peut avoir une EV positive. Ce qui compte, c'est combien vous gagnez par rapport à combien vous perdez, pondéré par la fréquence de chaque issue.
La formule
Survolez chaque terme pour afficher sa définition. La « perte » est négative, donc le second terme se soustrait du premier.
C'est toute la formule. Le reste de cette page consiste à l'appliquer.
Pourquoi le taux de réussite vous trompe
C'est le piège dans lequel tombent la plupart des débutants. Regardez ces deux traders :
Trader A : 80 % de réussite
Vend des puts OTM
- Gagne 80 trades sur 100
- Gain moyen : +50 $
- Perte moyenne : -400 $
- Total : (80 × 50 $) + (20 × -400 $) = -4 000 $
- Résultat net : PERTE de 4 000 $
Trader B : 35 % de réussite
Achète des calls OTM
- Gagne 35 trades sur 100
- Gain moyen : +600 $
- Perte moyenne : -100 $
- Total : (35 × 600 $) + (65 × -100 $) = +14 500 $
- Résultat net : GAIN de 14 500 $
Le trader A passe pour un génie 80 % du temps. Le trader B passe pour un perdant 65 % du temps. Pourtant, c'est le trader B qui gagne de l'argent. Voilà pourquoi c'est l'EV, et non le taux de réussite, qui compte.
La stratégie du trader A est l'exemple classique du « ramasser des centimes devant un rouleau compresseur ». Les petits gains fréquents sont agréables. Mais quand la perte arrive, elle est catastrophique par rapport aux gains. Les vendeurs d'options qui ignorent l'EV tombent constamment dans ce piège.
Calculateur d'EV
Saisissez vos propres chiffres. Essayez différentes combinaisons pour développer votre intuition sur l'interaction entre probabilité et taille du payoff.
Appliquer l'EV aux options
Prenons maintenant un vrai trade d'options. Vous achetez une option d'achat sur BTC pour une prime de 200 $. Vous estimez :
- 40 % de chances que le BTC monte suffisamment pour que l'option vaille 700 **)
- 60 % de chances que l'option expire sans valeur (vous perdez votre prime de 200 $)
L'EV est de +80 $ par trade. Vous perdrez de l'argent sur 60 % de ces trades. Cela peut être très désagréable. Mais les 40 % gagnants rapportent suffisamment pour compenser largement.
Sur 100 trades : 40 gains à +500 = 20 000. 60 pertes à -200 = -12 000. Bénéfice net : 8 000 dollars.
Plus de deux issues
La plupart des trades d'options ne se résument pas à « gagner ou perdre ». Un call peut expirer profondément dans la monnaie, légèrement dans la monnaie ou sans valeur. La formule de l'EV gère cela naturellement en ajoutant des lignes :
Même logique, plus de granularité. L'issue profondément ITM est rare mais importante, et elle contribue de manière significative à l'EV totale.
Quand l'achat ou la vente a-t-il une EV positive ?
Ni l'achat ni la vente d'options n'a par nature une EV positive ou négative. Tout dépend de la justesse du prix que le marché attribue à l'option.
L'EV ne vaut que ce que valent vos estimations de probabilité
Le calcul est simple. La difficulté consiste à estimer les probabilités. Les prix des options sur le marché intègrent déjà une distribution de probabilités consensuelle (via la volatilité implicite). Pour avoir une EV positive, vous devez penser que ce consensus est erroné. Si votre estimation n'est pas meilleure que celle du marché, votre EV après frais est légèrement négative.
L'observer dans le temps : la simulation de convergence
C'est ici que l'EV devient intuitive. Le graphique ci-dessous simule 200 trades à partir des probabilités et des payoffs que vous définissez. La ligne bleue représente votre P&L cumulé réel (aléatoire). La ligne verte en pointillés indique où l'EV prévoit que vous devriez arriver.
Cliquez plusieurs fois sur Re-shuffle. Remarquez comment la ligne bleue erre au hasard mais finit toujours près de la projection d'EV en pointillés. C'est la loi des grands nombres à l'œuvre.
Essayez maintenant ces expériences :
La variance n'est pas une EV négative
Une stratégie à EV positive peut perdre de l'argent pendant 20, 50, voire 100 trades d'affilée par pur hasard. Cela ne signifie pas que la stratégie est défaillante. Cela signifie que l'échantillon est trop petit. C'est pourquoi les traders professionnels accordent de l'importance au volume : il leur faut suffisamment de trades pour que les mathématiques jouent. Si votre stratégie ne génère que 5 trades par mois, il vous faudra peut-être des années pour distinguer le talent de la chance.
Pourquoi votre graphique de P&L vous trompe
La théorie des probabilités produit un résultat contre-intuitif appelé loi de l'arc sinus (décrite pour la première fois par Paul Lévy ; Taleb l'applique au P&L de trading dans Dynamic Hedging, chapitre 3). Dans un jeu équitable (EV = 0), on s'attendrait à passer environ la moitié de l'année en gain et l'autre moitié en perte. C'est faux. L'issue la plus probable consiste à passer presque toute l'année du même côté : soit 11 mois en gain et 1 en perte, soit 11 mois en perte et 1 en gain. Passer exactement 6 mois de chaque côté est l'issue la moins probable.
Probabilité du temps passé en gain (jeu équitable, 1 an)
Autrement dit : un trader rentable depuis 10 mois consécutifs n'est pas forcément talentueux. Un trader perdant depuis 10 mois consécutifs n'est pas forcément incompétent. Les graphiques de P&L cumulé sur de courtes périodes sont profondément trompeurs. Le seul signal fiable est un grand nombre de trades indépendants, c'est pourquoi le graphique de convergence ci-dessus en utilise 200.
Les historiques de performance sont surtout du bruit
Si vous placez une infinité de singes devant des écrans de trading, l'un d'eux produira un historique sur 10 ans digne de Warren Buffett. Cela ne veut pas dire que le singe a un avantage. La part de chance par rapport au talent dans un historique diminue avec la fréquence des transactions : pour un market maker qui réalise des milliers de trades par jour, une année rentable est une preuve solide d'avantage. Pour un gérant de fonds qui fait 10 trades par an, même une décennie de bénéfices peut relever du hasard. Demandez-vous toujours : combien de paris indépendants cet historique représente-t-il ?
Ce cadre provient de l'application par Taleb du lemme de Borel-Cantelli aux historiques de traders (Dynamic Hedging, chapitre 3). Le résultat mathématique d'origine démontre qu'avec suffisamment d'essais, même des événements extrêmement improbables deviennent certains.
Qu'est-ce qu'un « avantage » ?
L'avantage (edge) est ce qui rend votre EV positive. Sans avantage, votre EV sur n'importe quel trade est nulle ou légèrement négative (après frais). Avoir un avantage signifie savoir quelque chose que le prix de marché ne reflète pas entièrement.
Avantage réel
D’où vient l’EV positive
- De meilleures estimations de volatilité (vous pensez que la vol réalisée différera de l’IV)
- Une information plus rapide (vous réagissez aux données on-chain ou aux actualités avant l’ajustement des prix)
- Des avantages structurels (financement moins cher, marge plus efficace, capacité à porter le risque)
- La tenue de marché (vous captez le spread bid-ask sur chaque trade)
Pas un avantage
Ce que l’on confond avec un avantage
- « Je suis convaincu que le BTC va monter » (la conviction n’est pas de l’analyse)
- « Cette stratégie backtestée a rapporté 300 % » (surajustement aux données historiques)
- « Les options expirent généralement sans valeur » (la prime en tient déjà compte)
- « Je suis le portefeuille d’une baleine » (quand vous le voyez, tout le monde le voit aussi)
Pièges courants de l'EV
Penser en termes d'EV
Le changement le plus important qu'un trader puisse opérer consiste à cesser de juger ses trades sur leur résultat pour les juger sur leur processus.
Penser en résultats
Comment évaluent les débutants
- « Ce trade a perdu de l’argent, donc c’était un mauvais trade »
- « J’ai gagné de l’argent, donc ma stratégie fonctionne »
- « Je devrais arrêter de vendre des puts, je me suis brûlé le mois dernier »
- Juge la décision par son résultat
Penser en EV
Comment évaluent les professionnels
- « Ce trade avait une EV positive. La perte relevait de la variance attendue. »
- « J’ai gagné de l’argent, mais le trade avait-il réellement une EV positive ou ai-je eu de la chance ? »
- « La vente de put avait une EV positive. Je continue à vendre, mais avec une taille plus petite. »
- Juge la décision par son processus
L'EV dans différents domaines
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Voir aussi :
- Payoff vs P&L - La différence entre ce que vous recevez et ce que vous conservez
- Volatilité implicite - Le mouvement attendu par le marché, et la principale donnée d'entrée de l'EV des options
- Stratégies de base - Des trades d'options simples et les cas où leur EV est positive
- Couverture en delta - Isoler l'exposition à la volatilité pour capter l'EV issue des erreurs de valorisation de la vol
- Bêta et alpha - L'alpha est une EV positive persistante après prise en compte de l'exposition au marché
- Erreurs courantes - Les pièges qui détruisent l'EV