Méthodes d'interpolation pour les surfaces de volatilité

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Cette page complète Comment sont construites les surfaces de volatilité. Commencez par celle-ci pour comprendre pourquoi l'interpolation est importante.

La surface de volatilité comporte des trous. L'interpolation les comble. Le choix de la méthode détermine si la surface obtenue est lisse, sans arbitrage et stable. Cette page compare les principales approches.

Méthodes d'interpolation comparées

Les points blancs sont les seules vraies cotations de marché. Tout ce qui est entre les deux est estimé. Cliquez sur chaque méthode pour voir ses forces et faiblesses.

Ce qui peut mal tourner

Avant d'examiner chaque méthode, constatez les problèmes par vous-même. Les 7 mêmes observations de marché, trois méthodes d'interpolation différentes. Observez ce qui se passe dans les ailes et aux points de données.

Ce qui tourne mal : les échecs d'interpolation

Les mêmes 7 observations de marché, trois méthodes d'interpolation différentes. Observez ce qui se passe dans les ailes.

Courbes polynomiales lisses. Peuvent osciller et dépasser dans les ailes.

Les points blancs sont les seules observations réelles. Cliquez sur « Tout comparer » pour superposer les trois méthodes. Remarquez comment le spline dépasse dans l'aile gauche tandis que SVI reste borné.

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Méthodes non paramétriques

Ces méthodes ajustent des courbes passant par les points de données sans supposer de forme fonctionnelle. Elles sont rapides et simples, mais n'offrent aucune garantie structurelle.

Interpolation linéaire

Tracer des segments de droite entre les points de données adjacents.

Avantages :

• Triviale à implémenter
• Aucun ajustement ni optimisation
• Déterministe : les mêmes entrées donnent toujours les mêmes sorties

Inconvénients :

• Crée des angles vifs à chaque point de données. Ces angles produisent des dérivées premières discontinues, ce qui signifie que les grecques (en particulier le gamma) sautent brutalement aux strikes observés.
• Aucune garantie contre l'arbitrage butterfly. Une droite entre deux points peut passer sous le niveau où devrait se trouver un smile convexe.
• L'extrapolation relève de la pure spéculation (elle prolonge simplement la pente du dernier segment).

À utiliser pour : estimations rapides, vérifications de cohérence, débogage. Pas pour la valorisation en production.

Interpolation par spline cubique

Ajuster des polynômes cubiques par morceaux entre les points de données, contraints pour que les dérivées première et seconde coïncident à chaque jonction. Le résultat est une courbe de régularité $C^2$ (courbure continue).

Le nom vient des splines de dessin technique : des lattes de bois souples que les dessinateurs courbaient autour de clous pour tracer des courbes lisses.

Avantages :

• Courbe lisse passant par tous les points de données
• Aucune estimation de paramètres (la spline est déterminée par les données et les conditions aux bords)
• Rapide à calculer

Inconvénients :

• Phénomène de Runge : aux bords du domaine d'interpolation, le polynôme peut dépasser fortement. Pour les surfaces de volatilité, cela se traduit par des IV d'aile qui explosent ou deviennent négatives.
• Oscillation : entre les points de données, la cubique peut osciller au-dessus ou en dessous de ce que produirait un smile bien comporté, créant des creux concaves (arbitrage butterfly).
• Sensibilité aux valeurs aberrantes : un seul mauvais point de données (cotation périmée, erreur de saisie) déforme toute la courbe, car les contraintes de régularité propagent l'erreur.
• Aucun contrôle sur le comportement en extrapolation.

À utiliser pour : la visualisation, les travaux académiques, ou comme point de départ avant un ajustement paramétrique. Pas pour la valorisation ni la gestion du risque en production.

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Méthodes paramétriques

Ces méthodes supposent une forme fonctionnelle pour le smile et ajustent ses paramètres aux données. Elles sacrifient l'interpolation exacte au profit d'un contrôle structurel.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Le standard du marché pour les surfaces de volatilité crypto et actions. Cinq paramètres par tranche d'échéance.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Voir la référence complète : Paramétrisation SVI

Pourquoi elle domine : SVI offre le juste équilibre entre flexibilité et parcimonie. Cinq paramètres suffisent à ajuster presque toutes les formes de smile observées, tandis que de simples contraintes d'inégalité et un contrôle de densité peu coûteux excluent l'arbitrage butterfly. Les ailes tendent vers des asymptotes linéaires, de sorte que l'extrapolation reste bornée et raisonnable.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Un modèle de volatilité stochastique qui dérive le smile d'hypothèses sur l'évolution de la volatilité. Quatre paramètres : $\alpha$ (niveau de vol), $\beta$ (exposant CEV), $\rho$ (corrélation spot-vol), $\nu$ (vol de la vol).

Voir la référence complète : Modèle SABR

Pourquoi il existe : SABR capture la dynamique du smile, pas seulement sa forme statique. Il indique comment le smile doit se déplacer lorsque l'actif sous-jacent bouge (sticky delta par défaut). Il est donc naturel pour les swaptions de taux, où la dynamique du smile compte pour la couverture.

Volatilité locale (Dupire)

Ce n'est pas une méthode d'ajustement au sens habituel. La volatilité locale dérive une surface de volatilité instantanée à partir de la surface de volatilité implicite observée. Elle répond à la question : « Quelle doit être la volatilité instantanée en chaque combinaison (spot, temps) pour reproduire exactement ces prix d'options ? »

Voir la référence complète : Volatilité locale

Pourquoi elle existe : la volatilité locale est l'unique modèle sans arbitrage qui reproduit exactement tous les prix d'options observés. Elle fait le lien entre la volatilité implicite et un moteur de valorisation capable de traiter des payoffs dépendant du chemin.

SSVI (Surface SVI)

Une extension de SVI qui modélise toute la surface conjointement, et non tranche par tranche. SSVI garantit par construction l'absence d'arbitrage calendaire : la variance totale croît forcément avec la maturité à chaque strike.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Où $\theta_t$ est la variance totale ATM au temps $t$ et $\varphi(\theta_t)$ contrôle l'évolution du skew avec la maturité.

Compromis : moins de paramètres libres que SVI tranche par tranche (la forme du smile est liée entre les échéances), donc l'ajustement peut être légèrement moins bon sur certaines tranches. Mais vous n'avez jamais besoin de corrections a posteriori de l'arbitrage calendaire.

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Tableau comparatif

Méthode

Paramètres

Sans arbitrage ?

Extrapolation

Vitesse

Idéal pour

Linéaire

0

Non

Non bornée

Instantanée

Débogage

Spline cubique

~12 (implicites)

Non

Oscille

Rapide

Visualisation

SVI

5 par tranche

Oui (sous contraintes)

Linéaire bornée

Rapide

Crypto / actions

SABR

4

En grande partie

Raisonnable

Moyenne

Taux / swaptions

Vol locale

Grille complète

Par construction

N/A (dérivée)

Lente

Valorisation des exotiques

SSVI

~6 (surface)

Oui (calendaire aussi)

Bornée

Rapide

Cohérence de toute la surface

Comment choisir

• Pour la valorisation crypto/actions en production : SVI ou SSVI. Le marché a convergé vers ces méthodes pour de bonnes raisons.
• Pour les options de taux : SABR. Il capture la dynamique du smile qui compte pour la couverture des swaptions.
• Pour la valorisation des dérivés exotiques : volatilité locale (ou un hybride volatilité stochastique locale). Vous avez besoin de la surface complète, pas seulement de tranches.
• Pour une analyse rapide ou de la visualisation : la spline cubique convient, tant que vous ne tradez pas dessus.
• Pour rien du tout : l'interpolation linéaire en production. Sérieusement.

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Explorateur d'équations

Toutes les méthodes d'interpolation travaillent avec la variance totale et la log-moneyness. Utilisez ce calculateur pour passer d'une représentation à l'autre.

Explorateur d'équations

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Vol implicite (σ)

%

La volatilité implicite

Temps jusqu'à l'échéance

jours

Jours calendaires jusqu'à l'échéance

Variance totale (w)

0.022225

Variance annualisée (σ²)

0.2704

IV recalculée (aller-retour)

52.00%

La variance totale est ce que SVI et d'autres modèles calibrent. Elle croît avec le temps : une vol de 50% sur 30 jours a moins de variance totale qu'une vol de 50% sur 90 jours.

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Voir aussi :

• Comment sont construites les surfaces de volatilité - Le pipeline complet
• Paramétrisation SVI - SVI en détail
• Modèle SABR - SABR en détail
• Volatilité locale - Dupire en détail