Volatilité locale

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Cette page présente le modèle de volatilité locale de Dupire. Pour comprendre sa place dans la chaîne de construction de la surface de volatilité, consultez Construction des surfaces. Pour une comparaison avec d'autres méthodes, consultez Méthodes d'interpolation.

La volatilité locale est la volatilité instantanée du sous-jacent à un niveau de prix et à un instant donnés. C'est la fonction $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ qui, une fois injectée dans un modèle de diffusion, reproduit exactement tous les prix d'options européennes observés.

L'idée a été développée indépendamment par Bruno Dupire (1994) et par Derman & Kani (1994). C'est l'unique modèle qui reproduit l'intégralité de la surface de volatilité implicite sans aucune hypothèse supplémentaire.

Volatilité implicite vs. volatilité locale

L'idée clé : la volatilité implicite est une moyenne pondérée des volatilités locales le long du chemin jusqu'à l'échéance. La volatilité locale est la volatilité instantanée, « ponctuelle ».

Volatilité implicite vs volatilité locale

Smile typique des actions/cryptos. La volatilité locale est plus élevée et plus pointue que l'implicite.

La volatilité locale (trait plein) est toujours plus pointue que la volatilité implicite (pointillés). La volatilité implicite est une moyenne pondérée des volatilités locales le long de la trajectoire.

Alternez entre les différentes formes de smile et observez :

• La volatilité locale est toujours plus pointue. Comme la volatilité implicite fait une moyenne sur le chemin, elle lisse les extrêmes. La volatilité locale montre l'image brute, sans moyenne.
• Un skew implicite plus pentu = une volatilité locale plus marquée. Dans le cas d'un skew très pentu (crise), la volatilité locale diverge dans l'aile gauche. Le modèle dit en substance : « Si le spot chute aussi bas, la volatilité instantanée devrait être très élevée pour reproduire les prix observés des puts. »
• La relation est comparable à celle entre taux au comptant et taux forward. La volatilité implicite correspond au taux au comptant (moyenne d'aujourd'hui jusqu'à la maturité). La volatilité locale correspond au taux forward (le taux instantané à un point futur).

Ce que signifie la volatilité locale

Imaginez le prix du sous-jacent évoluant à travers un paysage de volatilités. À chaque point de l'espace (prix, temps), il existe une volatilité spécifique. Au fil de ses déplacements, le sous-jacent subit différentes volatilités instantanées.

Une option ATM à 30 jours avec une volatilité implicite de 50 % peut traverser des volatilités locales allant de 40 % à 65 % le long de son chemin. La volatilité implicite de 50 % est la moyenne risque-neutre de toutes ces volatilités locales, pondérée par le temps passé à chaque niveau.

C'est pourquoi deux options de strikes différents peuvent avoir des volatilités implicites différentes alors qu'elles dépendent du même processus sous-jacent : elles traversent des zones différentes du paysage de volatilité locale.

Quand utiliser la volatilité locale

Valorisation des options exotiques

C'est le principal cas d'usage de la volatilité locale. Le processus :

1. Observer les prix des options européennes (ou les volatilités implicites) sur le marché
2. Ajuster une surface de volatilité implicite sans arbitrage (avec SVI, SSVI ou une méthode similaire)
3. Dériver la surface de volatilité locale à l'aide de la formule de Dupire
4. Construire un moteur de valorisation numérique (EDP par différences finies ou Monte Carlo) à partir de la surface de volatilité locale
5. Valoriser l'option exotique en faisant évoluer le sous-jacent à travers le paysage de volatilité locale

La garantie : toute option exotique valorisée en volatilité locale est cohérente avec l'ensemble des prix d'options européennes observés. Le prix de votre option à barrière ne contredit pas celui des vanilles, ce qui est essentiel pour la couverture.

Grecques cohérentes avec la surface

Les grecques calculées en volatilité locale tiennent compte du fait que la volatilité change lorsque le spot bouge. Le delta en volatilité locale diffère du delta de Black-Scholes, car le modèle « sait » qu'un déplacement vers un autre niveau de spot implique une volatilité locale différente. C'est conceptuellement proche de ce que Taleb appelle le « shadow gamma » : la variation supplémentaire du delta qui provient du changement de volatilité induit par le mouvement du spot.

Le problème de la dynamique

La volatilité locale a une faiblesse bien connue : elle prédit une dynamique du smile erronée.

En volatilité locale, la volatilité est une fonction déterministe du spot. Dès que vous connaissez le niveau du spot, vous connaissez exactement la volatilité. Il n'y a aucune « surprise » sur la volatilité. Cela signifie que :

• Lorsque le spot baisse, la volatilité locale considère que la volatilité devait de toute façon être aussi élevée à ce niveau de prix. Le smile s'aplatit.
• En pratique, lorsque le spot baisse, la volatilité augmente souvent davantage que ce que prédit la volatilité locale, et le smile se pentifie.

Résultat : la volatilité locale sous-évalue systématiquement les options qui dépendent de la forme future du smile (options à barrière, options à départ différé, cliquets).

Volatilité locale vs. autres modèles

	Volatilité locale	SVI	SABR
Ce que c'est	Volatilité instantanée en chaque (S, t)	Forme paramétrique du smile	Modèle de volatilité stochastique
Observable ?	Non (dérivée)	Non (ajustée)	Non (ajusté)
Calibration exacte	Oui (par construction)	Approximative	Approximative
Dynamique du smile	Erronée (déterministe)	Non spécifiée	Meilleure (stochastique)
Valorisation d'exotiques	Oui (usage principal)	Non	Limitée
Vitesse	Lente (EDP/MC)	Rapide	Rapide (formule)
Idéal pour	Barrières, asiatiques, exotiques	Valorisation des vanilles, risque	Swaptions, vanilles de change

Lien avec les autres modèles

De la volatilité implicite à la volatilité locale : la formule de Dupire. Elle nécessite en entrée une surface implicite sans arbitrage.

De la volatilité locale à la volatilité implicite : résoudre une EDP forward sur la surface de volatilité locale, valoriser les options européennes, puis inverser pour obtenir les volatilités implicites. L'aller-retour est exact par construction.

SABR et volatilité locale : le paramètre $\beta$ de SABR contrôle l'ossature de volatilité locale (volatilité absolue $\sim F^\beta$, donc volatilité en pourcentage $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), tandis que $\nu$ ajoute une couche stochastique par-dessus. SABR peut être vu comme une approximation paramétrique de la volatilité locale enrichie d'une dynamique supplémentaire.

SVI et volatilité locale : SVI vous fournit la surface implicite. Dupire vous donne ensuite la volatilité locale. La chaîne : cotations de marché -> ajustement SVI -> surface implicite -> Dupire -> volatilité locale -> moteur de valorisation d'exotiques.

Construire l'intuition mathématique

Apprenez la volatilité locale à partir de zéroLeçon interactive · couvre la formule de Dupire

La leçon interactive ci-dessus présente le modèle de volatilité locale de Dupire à partir des premiers principes : pourquoi la volatilité implicite est une moyenne des volatilités locales pondérée par les chemins, comment la formule de Dupire extrait la volatilité locale des prix observés, la relation entre le smile de volatilité implicite et la surface de volatilité locale, et pourquoi la volatilité locale est importante pour valoriser les exotiques dépendant du chemin.

Implémentations open source

Dépôt	Pourquoi l'examiner
QuantLib	Volatilité locale de Dupire avec moteur de valorisation par différences finies
OpenGamma Strata	Construction de surfaces de volatilité locale à partir de données de marché
RustQuant	Valorisation en volatilité locale en Rust

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Voir aussi :

• Paramétrisation SVI - Le modèle utilisé pour construire la surface implicite
• Modèle SABR - Une alternative à volatilité stochastique
• Méthodes d'interpolation - Comparaison de toutes les méthodes
• Construction des surfaces - La chaîne complète