Modèle de diffusion avec sauts de Merton
Black-Scholes suppose que les prix évoluent de façon continue -- pas de gaps, pas de krachs soudains. Merton (1976) ajoute des sauts. Le prix peut se téléporter brutalement vers le haut ou vers le bas, au lieu de simplement diffuser. Le marché ouvre en gap. Un stablecoin perd son ancrage en un seul bloc.
Les queues épaisses et les smiles marqués sur les échéances courtes en découlent directement. Plus de risque de saut = des ailes plus raides sur la surface de volatilité.
Pourquoi les sauts comptent pour les options
Une option de vente OTM qui expire dans 2 jours ne vaut presque rien sous Black-Scholes -- la diffusion n'a pas le temps d'atteindre le strike. Mais si le marché peut sauter de 15 % en une nuit, ce put a une vraie valeur. Les modèles à sauts capturent cet effet. C'est pour cela que les smiles des échéances courtes sont si raides.
Explorer les paramètres
Commencez par « No jumps » pour voir le smile plat de Black-Scholes. Passez ensuite à « Crash risk » et observez l'aile des puts se raidir.
Explorateur du smile de Merton (diffusion à sauts)
Commencez avec « Sans sauts » pour voir le Black-Scholes plat, puis passez à « Risque de krach » pour voir comment les sauts créent le skew.
Le rôle de chaque paramètre
- Lambda (intensité des sauts) : le nombre de sauts attendus par an. Zéro = Black-Scholes. Un = environ un événement de l'ampleur d'un krach par an. En crypto, il peut être de 2 à 3.
- Taille moyenne des sauts : la direction moyenne d'un saut. Négative = les krachs sont plus fréquents que les envolées. C'est ce qui crée le skew des puts.
- Volatilité des sauts : la variabilité de chaque saut. Même si le saut moyen est nul, une forte volatilité des sauts crée des queues épaisses (les deux ailes montent).
- Volatilité de base (sigma) : la volatilité de diffusion normale entre les sauts. Elle fixe le niveau global.
Comment les sauts façonnent le smile
Smile de sauts vs. smile de volatilité stochastique
Merton et Heston (volatilité stochastique) produisent tous deux des smiles, mais par des mécanismes différents. La distinction compte pour le trading.
Échéances courtes vs. échéances longues
Le modèle de Merton est surtout utile pour les options à échéance courte, où le risque de saut domine. Pour les maturités plus longues, le théorème central limite entre en jeu -- de nombreux petits sauts ressemblent à de la diffusion, et le smile dû aux seuls sauts s'estompe. La volatilité stochastique prend le relais sur la partie longue de la structure par terme.
Merton en crypto
La crypto est sans doute le marché où Merton compte le plus. Les marchés tournent 24 h/24 et 7 j/7, mais les trous de liquidité sont fréquents -- pannes d'exchange, défaillances d'oracle, cascades de liquidations soudaines. Ce sont des sauts. Le niveau ATM peut peu bouger, mais les ailes se raidissent fortement.
Le modèle le plus simple qui valorise le risque de gap
Merton explique pourquoi les options OTM à échéance courte sont plus chères que ne le prédit Black-Scholes. Si vous tradez des hebdomadaires ou des options crypto à échéance courte, c'est le risque de saut que vous valorisez réellement. La couverture en delta sous Merton diffère de Black-Scholes, car la composante de saut n'est pas couvrable -- seule la partie diffusion peut être répliquée. L'exposition véga est structurellement plus élevée.
Explorateur d'équations
Convertissez entre volatilité implicite, variance totale, log-moneyness et prix des options.
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Construire l'intuition mathématique
Apprendre les sauts de Merton depuis zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon part d'une question simple, « et si le prix pouvait se téléporter ? », puis construit pas à pas l'intuition de l'intensité des sauts, de leur taille, et de la raison pour laquelle les ailes des échéances courtes coûtent cher.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- Le modèle de référence, sans sauts
- Modèle de Heston -- Volatilité stochastique (l'autre façon d'obtenir un smile)
- Variance Gamma -- Un modèle à sauts purs, sans aucune diffusion
- Skew -- Pourquoi le smile s'incline