Volatilité dépendante du chemin (PDV)
Tous les modèles présentés sur ce site supposent que la vol dépend de l’endroit où se trouve le prix maintenant : le niveau actuel, éventuellement l’état actuel de la vol. La volatilité dépendante du chemin (Guyon & Lekeufack, 2023) affirme que cela ne suffit pas. La vol dépend aussi de l’endroit où le prix est passé. Un coin qui a chuté de 10 % puis est remonté à 100 tout du long. Le coin qui a connu le krach et le rebond présente une vol implicite plus élevée, un skew plus prononcé et des ailes plus larges, parce que le marché se souvient du krach.
Les marchés ont de la mémoire
Si BTC vient de subir un drawdown de 15 %, la vol reste élevée même après le rebond du prix. Le PDV fait de la vol une fonction de deux éléments : la vol réalisée récente et la tendance récente du prix. C’est tout le modèle. La surface de volatilité se déplace en réponse au chemin, et pas seulement au prix actuel.
Le modèle en action
Basculez entre un chemin krach-rebond et un chemin plat. Les deux finissent au même prix, mais produisent des smiles de vol différents. Faites glisser le curseur de mémoire pour voir comment la fenêtre d’observation modifie l’effet.
Volatilité dépendante de la trajectoire
Basculez entre les scénarios pour voir comment un même prix actuel produit des smiles différents selon la trajectoire récente. Déplacez le curseur de mémoire pour voir comment la fenêtre rétrospective modifie l'effet.
Fonctionnement
1. Deux entrées issues du chemin de prix
Le PDV résume l’historique récent des prix en deux nombres :
2. La vol est une fonction de ces deux entrées
Le modèle dit : la vol implicite à n’importe quel strike est une fonction du spot actuel et de ces deux résumés du chemin. Pas de variable d’état de vol stochastique, pas de calcul fractionnaire, pas de chaîne de Markov cachée. Simplement : « où est le prix, combien a-t-il bougé, et dans quelle direction ? »
3. Un comportement de vol rugueuse sans modèle rugueux
Ce cadre reproduit plusieurs phénomènes « difficiles » :
- Regroupement de volatilité : une vol élevée engendre une vol élevée, car la vol réalisée récente reste élevée
- Effet de levier : les baisses augmentent davantage la vol que les hausses, car l’entrée de tendance rend la fonction asymétrique. Cela produit un skew qui varie avec les rendements récents.
- Lois d’échelle proches de la vol rugueuse : la rugosité apparente des trajectoires de vol émerge naturellement de la dépendance au chemin, sans recourir au mouvement brownien fractionnaire
- Calibration conjointe SPX/VIX : le modèle se calibre simultanément sur les options sur indice et les options sur VIX, ce que la plupart des modèles ne savent pas faire
Pourquoi c’est important pour la crypto
Les marchés crypto présentent une dépendance au chemin extrême. Après une cascade de liquidations, la vol reste élevée pendant des jours, même si le prix rebondit. Après une longue hausse régulière, la vol se comprime. Le PDV capture cela directement. Les modèles traditionnels traitent tous les BTC à 60k de la même façon ; le PDV distingue « 60k après un krach depuis 70k » de « 60k après un rallye depuis 50k ». Cette distinction compte pour la valorisation et la couverture en delta.
PDV et autres modèles
Forces et limites
Le modèle de vol dépendante du chemin le plus simple
Le PDV utilise la vol réalisée récente et la tendance récente pour expliquer des dynamiques de smile que les modèles de vol stochastique ne captent pas. Il reproduit la vol rugueuse, le regroupement de volatilité et l’effet de levier sans mathématiques exotiques. Le véga sous PDV diffère de celui de Black-Scholes, car l’état du chemin modifie la forme du smile. La contrepartie : le modèle est récent, nécessite du Monte Carlo et dépend du choix de la fenêtre d’observation.
Explorateur d’équations
Convertissez entre vol implicite, variance totale, log-moneyness et prix des options.
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Voir aussi :
- Modèle SABR : vol stochastique classique, sans dépendance au chemin
- Rough Bergomi : modèle de vol fractionnaire que le PDV peut approcher
- Modèle de Heston : vol stochastique à retour à la moyenne (markovien, sans mémoire du chemin)
- Neural SDE / Deep Hedging : une autre approche de la modélisation de la vol fondée sur les données
- Régimes de volatilité : comprendre les régimes que le PDV capture naturellement