Modèle SABR

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Cette page présente le modèle SABR en détail. Pour comprendre sa place dans la chaîne de construction de la surface de volatilité, consultez Comment les surfaces sont construites. Pour une comparaison avec d'autres méthodes, consultez Méthodes d'interpolation.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) est un modèle de volatilité stochastique introduit par Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward (2002). Contrairement à SVI, qui décrit la forme du smile, SABR décrit la dynamique qui le produit. Le smile découle du modèle comme conséquence de l'évolution conjointe de la volatilité et du sous-jacent.

SABR est le modèle dominant pour les swaptions de taux d'intérêt et les caps/floors. Il est moins répandu dans la crypto, où SVI est préféré pour sa calibration plus simple et son meilleur comportement dans les ailes.

Explorer les paramètres

Ajustez chaque paramètre pour voir comment le smile SABR évolue. Activez « Show backbone » pour afficher la courbe CEV seule (l'allure du smile sans vol de vol).

Explorateur de smile SABR

Smile typique des swaptions de taux. Skew modéré, courbure légère.

α (niveau de vol)0.30

Vol instantanée actuelle

β (backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = racine carrée, 1 = lognormal

ρ (corr spot-vol)-0.30

Négatif = skew des puts (usuel)

ν (vol de vol)0.40

Contrôle la largeur du smile. 0 = pas de smile.

Activez « Afficher le backbone » pour voir la courbe CEV seule (sans vol de vol). L'écart entre le backbone et le smile complet est la contribution de ν.

Rôle de chaque paramètre

• $\alpha$ (niveau de vol) : la volatilité instantanée actuelle. Un $\alpha$ plus élevé implique une IV globale plus élevée. C'est le paramètre recalibré le plus fréquemment.
• $\beta$ (backbone) : contrôle la façon dont la volatilité varie avec le prix du sous-jacent. $\beta = 1$ signifie que la vol en pourcentage est constante (lognormale). $\beta = 0$ signifie que la vol en dollars est constante (normale). $\beta = 0.5$ est un cas intermédiaire (racine carrée). En pratique, $\beta$ est généralement fixé selon une convention de marché, et non calibré.
• $\rho$ (corrélation spot-vol) : contrôle le skew. Un $\rho$ négatif signifie que la vol augmente lorsque le sous-jacent baisse (le comportement habituel sur les actions et la crypto). Un $\rho$ positif signifie l'inverse (rare).
• $\nu$ (vol de vol) : contrôle la largeur du smile. Lorsque $\nu = 0$, il n'y a pas de smile, seulement le skew produit par $\beta$ et $\rho$ (le « backbone »). À mesure que $\nu$ augmente, les deux ailes se relèvent.

Le backbone

Cliquez sur « Show backbone » dans l'explorateur ci-dessus. La ligne en pointillés est le smile avec $\nu = 0$ : aucune composante aléatoire dans la vol, uniquement le modèle CEV déterministe. L'écart entre le backbone et le smile complet correspond à la contribution de $\nu$ (vol de vol). Cette décomposition est propre à SABR et donne aux traders une intuition claire de l'origine de la courbure du smile.

Calibration

L'approche standard

1. Fixer $\beta$ selon une convention de marché :

   • Taux d'intérêt : $\beta = 0.5$ (courant) ou $\beta = 0$ (SABR normal)
   • Actions : $\beta = 1$ (lognormal)
   • Avec $\beta$ fixé, le modèle compte 3 paramètres libres.

2. Ancrer $\alpha$ sur la vol ATM. Il existe une relation quasi analytique entre $\alpha$ et la volatilité implicite ATM. À partir de l'IV ATM observée, on résout pour $\alpha$. La calibration se réduit alors à 2 paramètres libres.

3. Calibrer $\rho$ et $\nu$ en minimisant l'erreur pondérée entre le smile SABR et les IV observées sur l'ensemble des strikes. Avec seulement 2 paramètres, cette étape est rapide et robuste.

Pondération

• L'ATM reçoit le poids le plus important (le plus liquide, le plus fiable)
• Les options avec des spreads bid/ask serrés reçoivent davantage de poids
• Les options très OTM reçoivent moins de poids (l'approximation de Hagan y est moins précise)

Points forts

Interprétation dynamique. SABR indique comment le smile devrait se déplacer lorsque le sous-jacent bouge. Par défaut, SABR produit un comportement proche du sticky-delta : quand le spot baisse, la vol monte (si $\rho < 0$), et le smile se décale avec le spot. C'est précieux pour les produits où la dynamique du smile compte pour la couverture.

Décomposition du backbone. La séparation entre le backbone (skew piloté par $\beta$) et le smile (courbure pilotée par $\nu$) donne aux traders un modèle mental clair.

Parcimonie. Avec $\beta$ fixé et $\alpha$ ancré sur l'ATM, vous ne calibrez que 2 paramètres. C'est rapide et laisse peu de place au surajustement.

Limites

Problèmes dans les ailes. L'approximation de Hagan peut produire une volatilité implicite négative ou une densité de probabilité négative dans les ailes extrêmes. C'est un problème connu. Les systèmes de production utilisent des formulations corrigées (SABR sans arbitrage, ou un solveur EDP pour les strikes extrêmes).

Maturités longues. Le développement asymptotique se dégrade pour les maturités au-delà de 10 à 15 ans. Utilisez plutôt une méthode numérique.

Calibration statique, pas dynamique. Malgré l'interprétation dynamique de SABR, en pratique chaque échéance est calibrée indépendamment (exactement comme SVI). La dimension dynamique relève davantage de l'idéal que d'une contrainte appliquée en pratique.

SABR vs SVI

	SABR	SVI
Ce qu'il modélise	La dynamique qui produit le smile	La forme du smile
Paramètres	3 (avec $\beta$ fixé)	5
Arbitrage	La formule de Hagan peut être violée dans les ailes	Contraintes propres disponibles
Comportement dans les ailes	Peut se dégrader pour les strikes extrêmes	Bornées, asymptotes linéaires
Vitesse	Évaluation d'une formule	Optimisation
Idéal pour	Taux d'intérêt, change	Actions, crypto

La différence clé : SABR répond à « comment le smile se déplace-t-il ? » tandis que SVI répond à « à quoi le smile ressemble-t-il ? ». Pour la valorisation et le risque d'options européennes simples, la calibration plus simple de SVI et son meilleur comportement dans les ailes l'emportent généralement. Pour les produits où la dynamique du smile compte (swaptions bermudéennes, options barrières en sticky-delta), l'interprétation dynamique de SABR est précieuse.

Lien avec SVI

SABR peut servir à initialiser les calibrations SVI. Calibrez d'abord SABR (optimisation rapide à 2 paramètres), évaluez le smile SABR sur de nombreux strikes, puis calibrez SVI sur ces points. Cela donne à SVI un bon point de départ lorsque les données de marché sont rares.

Construire l'intuition mathématique

Apprenez SABR à partir de zéroLeçon interactive · 4 paramètres, 5 sections

La leçon interactive ci-dessus présente les quatre paramètres SABR un par un : comment alpha fixe le niveau de vol, comment rho incline le skew, comment nu relève les ailes, et comment beta contrôle la dynamique du backbone. Chaque section dispose d'un curseur dédié pour isoler l'effet d'un seul paramètre.

Implémentations open source

Dépôt	Pourquoi l'examiner
QuantLib	Approximation de Hagan pour SABR + calibration
pysabr	Implémentation SABR en Python pur, lisible
OpenGamma Strata	SABR avec interpolation du smile dans un système de risque en production

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Voir aussi :

• Paramétrisation SVI - Le smile par échéance que Hypercall calibre pour ses surfaces d'options sur actions
• Volatilité locale - La surface de volatilité instantanée de Dupire
• Méthodes d'interpolation - Comparaison de toutes les méthodes
• Comment les surfaces sont construites - La chaîne complète