Modèles simples et fondamentaux
Les briques de base. Black-Scholes : volatilité constante, pas de smile. CEV ajoute un paramètre pour obtenir du skew. Displaced Diffusion décale l'axe des prix pour gérer les taux négatifs. Trop simples pour calibrer un smile en production, mais chaque modèle complexe prolonge l'un d'entre eux.
Chaque modèle complexe prolonge un modèle simple
SABR a besoin de CEV (sa colonne vertébrale). Heston a besoin de Black-Scholes (son cas particulier). Commencez ici.
En un coup d'œil
Ce qu'ils ont en commun
Les quatre modèles décrivent un unique processus de diffusion pour le prix du sous-jacent. Aucun d'eux n'intègre de volatilité stochastique, de sauts ou une seconde source d'aléa. Ils diffèrent par la dynamique qu'ils supposent pour le prix.
Comment ils se relient entre eux
Black-Scholes est la référence : volatilité constante, prix lognormal, pas de smile. CEV le généralise en faisant varier la volatilité avec le niveau de prix (sigma multiplié par S à la puissance beta moins un), ce qui produit du skew. C'est la colonne vertébrale de SABR -- lorsque SABR définit sa composante de volatilité locale, il utilise CEV. Displaced Diffusion emprunte une autre voie : il décale l'axe des prix (on modélise S + d au lieu de S), ce qui produit également du skew et permet de gérer des taux ou des prix négatifs. Pour de faibles décalages, il se comporte de manière similaire à CEV. Bachelier est la version additive de Black-Scholes : les prix suivent une loi normale au lieu d'une loi lognormale. Il produit un smile plat (en termes de volatilité normale) et autorise naturellement les prix négatifs, ce qui explique pourquoi il est devenu la norme pour les options sur taux d'intérêt lorsque les taux sont passés en territoire négatif.
Modèles de cette section :
- Black-Scholes - Le fondement
- Modèle CEV - La volatilité varie avec le prix
- Displaced Diffusion - Lognormal décalé
- Bachelier - Dynamique normale, volatilité additive