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Modèles à volatilité stochastique

La volatilité bouge. Elle s'envole pendant les krachs, se comprime pendant les périodes calmes et revient vers sa moyenne avec le temps. Les modèles à volatilité stochastique font de la vol elle-même un processus aléatoire qui évolue en parallèle du prix.

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Une vol aléatoire produit le smile

Black-Scholes suppose une vol constante, donc il n'y a pas de smile. Dès que la vol devient aléatoire, le smile apparaît. Tous les modèles de cette section reposent sur ce principe, avec des hypothèses différentes sur la manière dont la vol évolue.

L'arbre généalogique​

Modèle
Année
Idée clé
Utilisé en production ?
1993
La vol revient vers sa moyenne. Dispose d’une formule de pricing (rapide).
Rarement seul
1996
Heston + sauts. Gère à la fois la dynamique continue et le risque de gap.
Desks exotiques
2002
Vol aléatoire + skew de backbone. Prédit le mouvement du smile.
Taux, FX
2011
SABR avec un backbone flexible. Ajuste des formes inhabituelles.
Taux (niche)
2016
Les trajectoires de vol sont rugueuses (irrégulières). Explique le skew prononcé des échéances courtes.
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Ce qu'ils ont en commun​

Tous les modèles à volatilité stochastique partagent la même structure de base : le processus de prix comporte une composante de vol aléatoire, et cette composante suit son propre processus stochastique. Les différences portent sur la forme de ce processus de vol :

Modèle
Dynamique de la vol
Retour à la moyenne ?
Sauts ?
Pricing en forme fermée ?
Processus CIR (diffusion en racine carrée)
Oui
Non
Oui (Fourier)
CIR + sauts de Poisson composé
Oui
Oui
Oui (Fourier)
Mouvement brownien géométrique sur la vol
Non
Non
Approx. (Hagan)
MBG sur la vol + backbone personnalisé
Non
Non
Non (EDP)
Mouvement brownien fractionnaire
Non
Non
Non (Monte Carlo)

Comment choisir​

  • Vous avez seulement besoin d'ajuster le smile actuel ? → Il vous faut probablement SVI, pas un modèle à volatilité stochastique.
  • Vous devez prédire comment le smile va bouger ? → SABR est la référence.
  • Vous pricez des exotiques sur toute la structure par terme ? → Bates ou SLV.
  • Vous construisez un pricer d'exotiques pour la production ? → Stochastic Local Vol (un modèle hybride) est ce que la plupart des desks utilisent.
  • Vous voulez comprendre pourquoi le skew des échéances courtes est si prononcé ? → Rough Bergomi.
  • Vous apprenez les fondamentaux ? → Commencez par Heston. Tout le reste en découle.

Comment ils s'articulent entre eux​

Heston est la base. Bates ajoute des sauts à Heston. SABR emprunte une autre voie : pas de retour à la moyenne, mais un backbone qui relie la vol au niveau du prix. ZABR généralise le backbone de SABR. Rough Bergomi remplace l'ensemble du processus de vol par quelque chose de plus rugueux et mieux fondé empiriquement, mais trop lent pour la production.

En crypto, SABR compte le plus pour comprendre la dynamique du smile et initialiser les ajustements SVI. Bates compte pour les desks exotiques qui ont besoin de sauts. Heston et Rough Bergomi sont conceptuels : ils expliquent pourquoi les smiles ont la forme qu'ils ont.

Modèles de cette section :

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