Paramétrisation SVI

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Cette page traite le modèle SVI en profondeur. Pour comprendre sa place dans la chaîne de construction de la surface de volatilité, consultez Comment les surfaces sont construites. Pour une comparaison avec d'autres méthodes, consultez Méthodes d'interpolation.

SVI (Stochastic Volatility Inspired) est le standard du secteur pour calibrer les smiles de volatilité sur les options crypto et actions. Il utilise 5 paramètres pour décrire la forme du smile à une échéance donnée. Son nom vient du fait que sa forme fonctionnelle peut être dérivée d'un modèle simplifié de volatilité stochastique.

Explorer les paramètres

Ajustez chaque paramètre ci-dessous pour voir comment il modifie le smile. Utilisez les préréglages pour passer d'une configuration courante à une autre.

Explorateur de paramètres SVI

Smile typique actions/crypto. Aile put élevée.

a (niveau)0.040

Décale l'ensemble du smile vers le haut ou vers le bas

b (pente)0.250

Détermine la pente des ailes

ρ (skew)-0.40

Négatif = skew put, positif = skew call

m (décalage)0.00

Position du minimum du smile

σ (courbure)0.200

Petit = V pointu, grand = U lisse

IV ATM

104.6%

Pente de l'aile put

0.350

Pente de l'aile call

0.150

Rôle de chaque paramètre

• a (niveau) : déplace l'ensemble du smile vers le haut ou vers le bas. Un $a$ plus élevé signifie une IV globale plus élevée. Considérez-le comme la variance de référence.
• b (pente) : contrôle l'inclinaison des ailes. Un $b$ plus élevé donne des ailes plus raides, donc des options OTM plus chères.
• $\rho$ (skew) : incline le smile. Un $\rho$ négatif donne un skew put (cas normal). Un $\rho$ positif donne un skew call (rare). Zéro donne un smile symétrique.
• m (décalage) : déplace le minimum du smile vers la gauche ou la droite. Généralement proche de zéro (minimum ATM).
• $\sigma$ (courbure) : contrôle l'arrondi du creux du smile. Un $\sigma$ faible donne une forme en V marquée. Un $\sigma$ élevé donne une forme en U adoucie.

Comportement des ailes

À mesure que l'on s'éloigne de l'ATM, le smile tend vers des droites. Les pentes sont :

• Aile put (gauche) : pente = $b(1 - \rho)$
• Aile call (droite) : pente = $b(1 + \rho)$

Avec un skew put typique ($\rho < 0$), l'aile put est plus raide que l'aile call. Ce comportement linéaire et borné des ailes est l'un des principaux atouts de SVI : il n'extrapole jamais vers des valeurs absurdes.

Calibration sur les données de marché

À partir d'un ensemble de valeurs d'IV observées à différents strikes (pour une seule échéance), SVI trouve les 5 paramètres qui les reproduisent le mieux.

Le processus :

1. Collecter toutes les observations d'IV à l'échéance cible (en général 5 à 15 points).
2. Convertir chacune en variance totale : IV observée au carré multipliée par le temps restant jusqu'à l'échéance.
3. Lancer un optimiseur par moindres carrés pondérés pour trouver les paramètres qui minimisent l'écart entre la courbe SVI et les observations.
4. Pondérer selon la confiance : les options ATM reçoivent plus de poids (plus liquides), les spreads bid/ask serrés aussi (plus fiables), les options très OTM en reçoivent moins.
5. Imposer les contraintes d'arbitrage pendant l'optimisation (voir ci-dessous).

Vitesse : une échéance se calibre en moins de 10 millisecondes. La surface entière (toutes échéances confondues) se reconstruit en temps réel à mesure que les cotations évoluent.

Contraintes d'arbitrage

SVI peut être contraint pour empêcher la plupart des arbitrages. Certaines contraintes sont de simples inégalités sur les paramètres ; l'absence d'arbitrage butterfly nécessite en plus une vérification numérique.

Borne sur la pente des ailes (nécessaire pour l'absence d'arbitrage butterfly) :

Le smile doit être suffisamment convexe pour qu'aucun butterfly spread ne soit un gain gratuit. En termes de variance totale, les ailes ne peuvent pas croître plus vite que la borne de Roger Lee (voir ci-dessous) :

$b(1 + |\rho|) \leq 2$

Cette condition est nécessaire, pas suffisante. Un smile peut la satisfaire tout en impliquant une densité négative près de la monnaie ; les calibrateurs vérifient donc aussi la fonction de densité de Gatheral $g(k) \geq 0$ sur une grille de valeurs de log-moneyness.

Variance non négative au minimum :

Le minimum du smile doit être au-dessus de zéro :

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

Contrainte calendaire (entre échéances) :

La variance totale doit croître avec la maturité à chaque strike. On l'impose en vérifiant $w_1(k) \leq w_2(k)$ pour tout $k$ entre deux tranches d'échéance consécutives.

Variantes

SVI possède deux variantes importantes, chacune avec sa propre page :

ORC Wing (Jump-Wing) reparamétrise SVI à l'aide de grandeurs parlantes pour un trader : variance ATM, skew ATM, pente de l'aile put, pente de l'aile call et variance minimale. Même smile, autres leviers de réglage. Utile pour ajuster le smile à la main.

SSVI (Surface SVI) étend SVI à la surface complète et garantit par construction l'absence d'arbitrage calendaire. Au lieu de calibrer chaque échéance indépendamment, SSVI les relie par un paramètre de skew commun et une fonction de pente du smile. Moins de degrés de liberté, mais aucune correction entre échéances n'est nécessaire.

Explorateur d'équations

SVI travaille en variance totale et en log-moneyness. Utilisez cet outil pour convertir entre IV, variance totale et représentations en strike.

Explorateur d'équations

k = ln(K / F)log-moneyness = ln(strike / forward)

Strike (K)

$

Le prix d'exercice de l'option

Forward (F)

$

Prix forward (≈ spot pour les échéances courtes)

Log-moneyness (k)

-0.0513

Moneyness (K/F)

0.9500

Type

-5.0% Put OTM

La log-moneyness est l'axe des x utilisé par SVI et la plupart des modèles paramétriques. k = 0 correspond à l'ATM. k négatif = côté puts OTM. k positif = côté calls OTM.

Pourquoi SVI ?

• 5 paramètres suffisent à calibrer presque tout smile observé. Moins de paramètres que les splines, plus de souplesse que les modèles à 3 paramètres.
• Des ailes bornées empêchent une extrapolation incontrôlée. Au pire, SVI extrapole vers une pente finie.
• Des contraintes simples maintiennent les ailes et le niveau de variance dans des bornes raisonnables, et l'arbitrage butterfly se vérifie numériquement sur une grille à faible coût.
• Une calibration rapide permet de mettre à jour la surface en temps réel à mesure que le marché bouge.
• Largement utilisé sur les desks de volatilité crypto et actions. Hypercall prend la surface de chaque sous-jacent auprès de sa source de volatilité configurée.

Construire l'intuition mathématique

Apprenez le SVI à partir de zéroLeçon interactive · 5 sections · aucun prérequis

La leçon interactive ci-dessus présente SVI à partir des principes fondamentaux : ce que SVI paramétrise et pourquoi, chacun des 5 paramètres pris isolément, la conversion de la variance en volatilité, les contraintes de non-arbitrage et une calibration pratique sur des données de marché.

Implémentations open source

Dépôt	Pourquoi l'examiner
SVI-Vol-Surface	Calibration SVI en Python avec visualisation
QuantLib	Paramétrisation SVI en C++

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Variantes de SVI : ORC Wing (Jump-Wing) | SSVI (Surface SVI)

Voir aussi : Comment les surfaces sont construites | Méthodes d'interpolation | Modèle SABR | Skew