Variance Gamma
Variance Gamma (VG) : aucune diffusion. Les prix ne bougent pas de façon continue entre les sauts, chaque mouvement est un saut. Les sauts se produisent sur une horloge aléatoire. Le temps s'accélère pendant les périodes de forte activité et ralentit pendant les périodes calmes. Cette horloge aléatoire produit des queues épaisses sans recourir à une « distribution de la taille des sauts » comme dans Merton. La surface de volatilité obtenue peut reproduire simultanément le skew et le kurtosis observés sur le marché réel.
Trois paramètres contrôlent tout : la volatilité (sigma), le skew (theta), le kurtosis (nu).
L'idée de l'horloge aléatoire
Le marché possède sa propre horloge interne qui tourne à une vitesse aléatoire. Les jours chargés, l'horloge tourne vite et les prix bougent beaucoup. Les jours calmes, l'horloge avance à peine. VG = Black-Scholes sur une horloge aléatoire. Les queues épaisses et un smile naturel en découlent, sans aucune hypothèse sur les krachs ou la taille des sauts.
Explorer les paramètres
Essayez d'abord « Thin tails » pour voir un comportement proche de Black-Scholes. Puis augmentez nu (kurtosis) pour voir les ailes se relever.
Explorateur du smile Variance Gamma
Essayez « Queues fines » pour voir un Black-Scholes quasi plat, puis augmentez ν pour voir les ailes monter sous l'effet de l'excès de kurtosis.
Rôle de chaque paramètre
- Sigma (volatilité) : la volatilité de base lorsque l'horloge tourne à vitesse normale. C'est le niveau global, comparable à la volatilité ATM.
- Theta (skew) : la dérive du processus. Un theta négatif signifie que le marché tend à baisser davantage qu'il ne monte sur un pas de temps donné. Cela crée un skew côté puts : l'aile gauche est plus pentue que l'aile droite.
- Nu (kurtosis) : contrôle à quel point l'horloge est « aléatoire ». Nu faible = l'horloge tourne régulièrement (queues fines, proche de Black-Scholes). Nu élevé = l'horloge est très erratique (queues épaisses, ailes pentues). Les options OTM deviennent nettement plus chères.
Pourquoi des sauts purs ?
Black-Scholes, et même Merton, supposent une composante de diffusion continue : les prix évoluent de façon continue la plupart du temps, avec des sauts occasionnels. VG dit : peut-être que tout mouvement de prix est discontinu. À l'échelle du tick, les prix sautent d'un niveau à l'autre. Pas de trajectoire continue entre les transactions. La couverture en delta est imparfaite par construction : vous ne pouvez pas répliquer le payoff en continu.
C'est une bonne description du fonctionnement réel des marchés crypto, en particulier sur les paires peu liquides où le carnet d'ordres est mince et où les prix sautent d'un niveau à l'autre.
Trois paramètres, trois moments
VG est élégant parce que chaque paramètre correspond directement à une propriété statistique des rendements. Sigma contrôle la variance (deuxième moment), theta contrôle l'asymétrie (troisième moment) et nu contrôle l'excès de kurtosis (quatrième moment). Aucune redondance, aucun casse-tête de corrélation entre paramètres.
VG face aux autres modèles
VG en pratique
VG est moins répandu que Heston ou SABR sur les desks traditionnels, mais il occupe une niche dans la crypto et le crédit :
Un paramètre par moment
Chaque paramètre VG contrôle exactement une propriété statistique des rendements. C'est la séparation la plus nette entre skew et épaisseur des queues parmi tous les modèles de smile. L'exposition en véga sous VG diffère de Black-Scholes, car le smile de volatilité implicite n'est pas plat. Si vous voulez aller au-delà de Black-Scholes sans avoir besoin de la complexité de Heston ou de SLV, VG convient.
Explorateur d'équations
Convertissez entre volatilité implicite, variance totale, log-moneyness et prix d'options.
Explorateur d'équations
💡 Conseil : Essayez de répondre à chaque question vous-même avant de révéler la réponse.
Développer l'intuition mathématique
Apprendre Variance Gamma depuis zéroLeçon interactive · aucun prérequisCette leçon présente Variance Gamma à travers le modèle mental de l'horloge aléatoire, puis montre comment theta, sigma et nu contrôlent le skew, l'amplitude des mouvements ordinaires et l'épaisseur des queues.
Voir aussi :
- Black-Scholes -- La référence à diffusion pure
- Merton Jump-Diffusion -- Diffusion plus sauts
- Modèle de Heston -- Volatilité stochastique (basée sur la diffusion)
- Méthodes d'interpolation -- Comparaison de tous les modèles